Concours Avenir 2023

Pour chaque question, une seule réponse est correcte. Afin d'éliminer les stratégies de réponses au hasard, chaque réponse exacte est gratifiée de trois points, tandis que chaque réponse fausse est pénalisée par le retrait d’un point. Une question non traitée n'apporte ni ne retire aucun point.

Règle de nommage et représentation d'un cube 

Dans ce sujet, un cube \(\mathrm{ABCDEFGH}\)  dénote le cube suivant (aux rotations près du cube).

Pour les questions 1 à 5, on se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.

Question 1
On considère le plan \((P)\) d’équation : \(x +2y +3z -1 = 0\) . Quel vecteur est normal à \((P)\)  ?
    a.  \(\overrightarrow{n_1} = (1~;~2~;-1)\)
    b.  \(\overrightarrow{n_2} = (1~;~2~;~3)\)
    c.  \(\overrightarrow{n_3} = (1~;~3~;-1)\)
    d. \(\overrightarrow{n_4} = (2~;~3~;-1)\)

Question 2
On considère la droite \((d)\) d’équation :  \(\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y-1}{2} = \dfrac{z+3}{1}\) . Déterminer un vecteur directeur de la droite \((d)\) .
    a. \(\overrightarrow{u_1} = (2~;~1~;~1)\)
    b.  \(\overrightarrow{u_2} = (1~;~2~;-3)\)
    c.  \(\overrightarrow{u_3} = (-1~;~2~;~1)\)
    d.  \(\overrightarrow{u_4} = (2~;~1~;-3)\)

Question 3
On considère les points \(\text A(1~;~3~;~0)\) et \(\text B(5~;~1~;-2)\) . Déterminer l’équation du plan médiateur du segment \(\mathrm{[AB]}\) .
    a. \(2x - y - z -5 = 0\)
    b. \(2x - y - z +5 = 0\)
    c. \(x + y +2z -3 = 0\)
    d. \(3x +2y - z -14 = 0\)

Question 4
On considère les trois points suivants : \(\text A(-1~ ;-2~;~3)\) ; \(\text B(-6~;~1~;~1)\)  ; \(\text C(-5~;-3~;~2)\) .
Le triangle \(\mathrm{ABC}\) est :
    a. équilatéral
    b. rectangle en \(\text A\)
    c. rectangle en \(\text C\)
    d. isocèle en \(\text C\)

Question 5
On considère les trois points suivants : \(\text A(1~;~2~;~3)\)  ; \(\text B(3~;~3~;~5)\)  ; \(\text C(-1~;~2~;-4)\) . Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de \(\text C\) sur \(\mathrm{(AB)}\) :
    a. \((-1~;~1~;~1)\)
    b. \(\left(2~;~ \dfrac52~;~ 4\right)\)
    c. \(\left(0~;~\dfrac32~;~2\right)\)
    d. \((-3~;~0~;-1)\)

Dans les questions 6 à 8, on considère un cube \(\mathrm{ABCDEFGH}\) , et les points : \(\mathrm{M}\) le milieu de \(\mathrm{[CD]}\) , \(\text P\) le milieu de \(\mathrm{[GH]}\) et \(\text N\) le centre de la face \(\mathrm{ABCD}\) .

Question 6
Quels sont les points coplanaires ?
    a. \(\text{M, C, P et F}\)
    b. \(\text{A, B, C et P}\)
    c. \(\text{M, N, E et H}\)
    d.  \(\text{M, P, E et F}\)

Question 7
Le plan et la droite sécants sont :
    a. \(\text{(ABE) et (CP)}\)
    b. \(\text{(ABC) et (DH)}\)
    c. \(\text{(MNH) et (BC)}\)
    d. \(\text{(DAP) et (MG)}\)

Question 8
Les vecteurs  \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) et  \(\overrightarrow{\mathrm{FG}}\) dirigent le plan :
    a. \(\text{(BCD)}\)
    b. \(\text{(ABF)}\)
    c. \(\text{(ABG)}\)
    d. \(\text{(FGB)}\)

Question 9
Soit \(\text{ABCDEFGH}\) et \(\text{BIJCFLKG}\) deux cubes de même taille disposés côte à côte. Soit le point \(\text X\) défini par \(\overrightarrow{\mathrm{AX}} = 2\overrightarrow{\mathrm{CJ}} +\overrightarrow{\mathrm{DH}} +\overrightarrow{\mathrm{FG}}\) . Le point \(\text X\) se situe en :
    a.  \(\text H\)
    b. \(\text G\)
    c. \(\text K\)
    d. \(\text J\)

Question 10
Soit \(\text{ABCDEFGH}\) un cube de côté non nul. Soit les points \(\text I\) et \(\text J\) tels que  \(\overrightarrow{\mathrm{EI}} =\dfrac13\overrightarrow{\mathrm{EF}}\)  et  \(\overrightarrow{\mathrm{GJ}} = \dfrac23\overrightarrow{\mathrm{GC}}\) . Quel vecteur est dans le plan dirigé par \(\overrightarrow{\mathrm{EC}}\) et  \(\overrightarrow{\mathrm{IJ}}\) ?
    a.  \(\overrightarrow{\mathrm{EA}}\)
    b.  \(\overrightarrow{\mathrm{FE}}\)
    c. \(\overrightarrow{\mathrm{FG}}\)
    d. \(\overrightarrow{\mathrm{FJ}}\)

Question 11
Soit \(x \in \mathbb R_+^*\)  et un parallélépipède rectangle \(\text{ABCDEFGH}\) tel que \(\mathrm{AD = AE} = x\text{AB}\) . Pour quelle valeur de \(x\)  les droites \(\mathrm{(BH)}\)  et \(\mathrm{(AG)}\) sont-elles orthogonales ?
    a. \(1\)
    b. \(\dfrac{\sqrt 2}{2}\)
    c. \(\sqrt 2\)
    d.  \(\dfrac12\)